Бернхард Риман

Десять лет работы — и несколько разделов математики, переписанных заново. Георг Бернхард Риман успел немного, но этого хватило, чтобы его имя вошло в названия десятков теорем, функций и целых геометрий. Академик П. С. Александров называл его, может быть, величайшим математиком середины XIX века и непосредственным преемником Гаусса.

Он родился 17 сентября 1826 года в Брезеленце, в Ганновере, и умер 20 июля 1866 года в Селаске, в Италии, близ Лаго-Маджоре, не дожив двух месяцев до сорока лет.

Поздняя школа и выбор между богословием и математикой

Риман был старшим сыном бедного пастора, вторым из шести его детей. В школу он смог пойти только в четырнадцать лет, в 1840 году. Мать, Шарлотта Эбелль, умерла от туберкулёза, когда он ещё учился; от той же болезни умерли две его сестры, и от неё же он умер сам. К семье Риман был привязан всю жизнь.

Способности к математике проявились рано, но отец хотел видеть сына в другом деле, и в 1846 году Риман поступил в Гёттингенский университет изучать филологию, философию и богословие. Переломили дело лекции Гаусса: увлечённый ими, юноша решил окончательно стать математиком. В 1847 году он перешёл в Берлинский университет, где преподавали Дирихле, Якоби и Штейнер, а в 1849-м вернулся в Гёттинген. Там он познакомился с Вильгельмом Вебером, ставшим его учителем и близким другом, а годом позже приобрёл ещё одного друга — Рихарда Дедекинда.

Диссертация, доклад и риманова геометрия

В 1851 году Риман защитил диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной»; научным руководителем был Гаусс, высоко ценивший талант своего ученика. Именно в этой работе впервые появилось понятие, известное позже как риманова поверхность.

Чтобы претендовать на должность экстраординарного профессора, по уставу требовалось выступить перед профессорским составом. Осенью 1853 года Риман прочитал в присутствии Гаусса доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» — с него ведёт начало риманова геометрия. Должности доклад не принёс: Римана не утвердили. Зато текст выступления опубликовали — правда, с большим опозданием, в 1868 году, уже после смерти автора. Приват-доцентом Гёттингенского университета он всё же стал и читал там курс абелевых функций.

В 1857 году вышли классические труды Римана по теории абелевых функций и аналитической теории дифференциальных уравнений, и его перевели на должность экстраординарного профессора. С 1859 года, после смерти Дирихле, он — ординарный профессор математики Гёттингенского университета и читает лекции по математической физике, изданные посмертно его учениками.

Что он успел изменить в математике

В том самом докладе Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрики в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы — римановой метрики. Он обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай и ввёл тензор кривизны и другие фундаментальные понятия римановой геометрии. Существование метрики Риман объяснял либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи — здесь он предвосхитил общую теорию относительности. Альберт Эйнштейн писал: «Риман первый распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии».

Риман допускал, что геометрия в микромире может отличаться от трёхмерной евклидовой: понятия твёрдого тела и светового луча, по его словам, теряют всякую определённость в бесконечно малом. В той же работе он указывал, что допущения евклидовой геометрии надо проверять и «в сторону неизмеримо большого», то есть в космологических масштабах.

Он создал геометрическое направление теории аналитических функций, разработал теорию конформных отображений и общую теорию многозначных комплексных функций, построив для них римановы поверхности, на которых эти функции однозначны. Пользовался не только аналитическими, но и топологическими методами; позже его труды продолжил Анри Пуанкаре, завершив создание топологии. «Теория абелевых функций» стала важным шагом в развитии этого раздела анализа: Риман ввёл понятие рода абелевой функции, классифицировал их по этому параметру и вывел топологическое соотношение между родом, числом листов и числом точек ветвления.

Вслед за Коши он занялся формализацией понятия интеграла и ввёл своё определение — интеграл Римана, ставший стандартом в классическом анализе; развил общую теорию тригонометрических рядов, не сводящихся к рядам Фурье. В аналитической теории чисел большой резонанс имело его исследование распределения простых чисел: Риман дал интегральное представление дзета-функции, исследовал её полюса и нули, выдвинул гипотезу Римана и вывел приближённую формулу для оценки количества простых чисел через интегральный логарифм.

Газовая динамика и ударные волны

В механике Риман изучал динамику течений сжимаемой жидкости и газа, в том числе сверхзвуковых. Наряду с К. Доплером, Э. Махом, У. Дж. Ранкином и П.-А. Гюгонио он стал одним из основоположников классической газовой динамики.

Риман предложил метод аналитического решения нелинейного уравнения, описывающего одномерное движение сжимаемой жидкости; геометрическая разработка этого метода позже привела к созданию метода характеристик — сам Риман термина «характеристика» и соответствующих геометрических образов не использовал. Фактически им был создан общий метод расчёта течений газов в предположении, что те зависят только от двух независимых переменных. В 1860 году он нашёл точное общее решение нелинейных уравнений одномерного течения сжимаемого газа при условии его баротропности: бегущую плоскую волну конечной амплитуды, профиль которой, в отличие от волн малой амплитуды, меняет со временем форму.

Именно Риману механика обязана понятием об ударных волнах. Явление образования ударных волн в потоке сжимаемого газа впервые было обнаружено не экспериментально, а теоретически — в ходе изучения решений уравнений движения газа, среди которых оказались решения с подвижными поверхностями сильного разрыва. Риман сделал и первую попытку получить условия на поверхности разрыва, но не преуспел: он фактически исходил из законов сохранения массы, импульса и энтропии, а следовало исходить из сохранения массы, импульса и энергии. Правильные соотношения для одномерного движения газа получили Ранкин в 1870 году и Гюгонио в 1887-м.

Признание, семья и последние годы

После работы «О числе простых чисел, не превышающих заданной величины» Риман по рекомендации Вейерштрасса был избран членом Берлинской академии наук в 1859 году. В 1860-м его избрали членом Парижской академии наук и Лондонского королевского общества. Вместе с Дедекиндом он ездил в Берлинский университет, где общался с Вейерштрассом, Куммером и Кронекером.

В 1862 году Риман женился на Эльзе Кох, подруге покойной сестры; у них родилась дочь Ида. Вскоре после женитьбы он простудился и серьёзно заболел. Надеясь поправить здоровье, в декабре 1862 года Риман с женой уехали в Италию — сначала на год с возвратом в Гёттинген, затем ещё на два года. В 1866 году он скончался там от туберкулёза.

Посмертный сборник трудов, подготовленный Дедекиндом, содержал всего один том. Могила Римана в Италии была заброшена и позже уничтожена при перепланировке кладбища, но надгробная плита уцелела и установлена у стены кладбища.

Вопросы

Правда ли, что Риман получил должность профессора сразу после знаменитого доклада?

Нет. Доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» не помог: Римана не утвердили в должности экстраординарного профессора. Он стал приват-доцентом, а экстраординарным профессором — только в 1857 году.

Почему его называют основателем римановой геометрии?

В том же докладе он определил n-мерное многообразие и его метрику, обобщил теорию поверхностей Гаусса на многомерный случай и ввёл тензор кривизны — то, на чём стоит вся риманова геометрия.

От чего Риман умер так рано?

От туберкулёза. От этой болезни умерла его мать и две сестры; сам он простудился и тяжело заболел вскоре после женитьбы в 1862 году и уехал лечиться в Италию, где и скончался в 1866 году.

Что напоминает о нём, кроме теорем?

В 1964 году Международный астрономический союз присвоил имя Римана кратеру на видимой стороне Луны, а 19 октября 1994 года его именем назвали малую планету (4167) Riemann, открытую 2 октября 1978 года Л. В. Журавлёвой в Крымской астрофизической обсерватории.