Нильс Хенрик Абель

Нильс Хенрик Абель прожил 26 лет и успел за это время закрыть проблему, над которой математики бились три столетия. Он доказал, что уравнения пятой степени в общем виде не решаются в радикалах, и заложил основы теории эллиптических функций — настолько глубоко, что Шарль Эрмит позже скажет: Абель оставил математикам наследие на 500 лет работы.

Сын пастора, который не должен был выжить

Абель родился в 1802 году на острове Финнёй в семье пастора. Детство омрачали слабое здоровье, пьянство отца и постоянные раздоры родителей. После смерти отца семья из шестерых детей оказалась на грани нищеты. У старшего брата обнаружилось душевное расстройство — и ответственность за семью легла на 18-летнего Нильса.

Спасла школа. Учитель Бернт Микаэль Хольмбоэ заметил необычный дар ученика и в служебном отчёте 1819 года написал о 17-летнем юноше: «С превосходнейшим гением он сочетает ненасытный интерес и тяготение к математике, поэтому, если он будет жить, он, вероятно, станет великим математиком». Хольмбоэ не ошибся — и впоследствии издал собрание сочинений своего ученика.

Доказательство, которое сделало его бессмертным

В 1821 году Абель поступил в университет Христиании (ныне Осло). Преподаватели, ознакомившись с его ранними работами, назначили ему стипендию из личных средств — «дабы сохранить для науки это редкое дарование». Чтобы облегчить жизнь матери, Нильс взял одного из братьев к себе и подрабатывал репетиторством.

В 1823 году он представил университету первую значительную работу — об интегрируемости дифференциальных уравнений. Рукопись не опубликовали и впоследствии затеряли, но за неё Абелю наконец назначили государственную стипендию. В том же году он закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решить в общем виде уравнение пятой степени. Позже он расширил результат: уравнения любой степени выше четвёртой, вообще говоря, неразрешимы в радикалах. Абель привёл конкретные примеры таких уравнений — на эту работу впоследствии опирался Галуа.

Берлин, Париж и соревнование с Якоби

В 1824 году университет разрешил Абелю оплачиваемую поездку за границу. С сентября 1825 года по февраль 1826-го он жил в Берлине, где познакомился с Августом Крелле — тот устроил Нильса сотрудником журнала «Journal für die reine und angewandte Mathematik». В этот период Абель значительно продвинул теорию эллиптических функций — одновременно с Карлом Густавом Якоби. Соревнование двух выдающихся математиков в течение нескольких лет принесло науке существенную пользу.

В феврале 1826 года Абель поехал в Италию, провёл несколько месяцев в Венеции, а в июле перебрался в Париж, где оставался до конца года. Он познакомился с Лежандром и Коши, пытался опубликовать знаменитый мемуар об абелевых функциях. Труд сначала затерялся, потом его отыскали — и уже посмертно отметили Большой премией Парижской Академии.

К началу 1827 года деньги закончились, Абелю пришлось ограничивать себя в еде. Он вернулся в Берлин, потом в Христианию, бедствовал, подрабатывая частными уроками. После письма видных французских математиков норвежскому королю он получил место временного преподавателя в университете и инженерной школе. Бо́льшая часть жалованья уходила на выплату долгов семьи.

Строже, чем Коши

Имя Абеля носят несколько важных теорем о степенных рядах. Он исследовал сходимость рядов на высшем уровне строгости — более жёстком, чем у Коши. Абель доказывал, что сумма степенного ряда внутри круга сходимости непрерывна, тогда как Гаусс и Коши считали этот факт самоочевидным. В 1826 году он привёл контрпример к теореме Коши о сумме сходящегося ряда непрерывных функций: функция периодична с периодом 2π, в интервале от −π до π равна x/2, однако на концах интервала терпит разрыв. Позднее Вейерштрасс исправил формулировку, введя понятие равномерной сходимости. В доказательствах самого Абеля современный математик чаще всего не найдёт неточностей.

В теории специальных функций Абель был признанным основателем наряду с Якоби. Он первым определил эллиптические функции как функции, обратные эллиптическим интегралам, распространил их определения на комплексный случай и глубоко исследовал их свойства. Самая важная теорема об интегралах от алгебраических функций была опубликована лишь посмертно — Лежандр назвал это открытие «нерукотворным памятником» Абелю.

Смерть и посмертная слава

В 1828 году Абеля избрали членом Королевского научного общества Норвегии. Он продолжал работать над теорией эллиптических функций и ждал обещанного приглашения в Берлин. Приглашение опоздало: 6 апреля 1829 года Абель умер от туберкулёза. Ему было 26 лет.

Память о нём в Норвегии берегут: памятники стоят в Осло и Ерстаде, портрет помещался на банкноту 500 крон. В 2002 году, к 200-летию Абеля, правительство Норвегии учредило Абелевскую премию по математике. Его именем назван кратер на Луне, а в математике — абелевы группы, абелевы интегралы, теорема Абеля — Руффини и десятки других объектов.

Вопросы об Абеле

Почему теорему Абеля — Руффини называют закрытием древней проблемы?

Уравнения пятой степени не решаются в радикалах в общем виде — это доказал Абель в 1823 году, опираясь на более раннюю работу Руффини. Проблема, над которой бились математики с XVI века, была закрыта.

Что такое Абелевская премия?

Это премия по математике, учреждённая правительством Норвегии в 2002 году к 200-летию Абеля.

Как сложилась личная жизнь Абеля?

Во время поездки в Копенгаген он встретил Кристину Кемп, бедную девушку, как и он сам. На Рождество они праздновали обручение, но пожениться не успели — Абель умер за четыре года до свадьбы.